Section : Hypothèses alternatives
Précédent : Tests paramétriques
Suivant : Fonction puissance

Test du rapport de vraisemblance

Nous reprenons le problème de tester deux hypothèses simples, quand le modèle est celui d'un échantillon $(X_1,\ldots,X_n)$ d'une loi de probabilité inconnue $P$ :

$${\cal H}_0\;:\;P=P_0$$   contre$$\quad {\cal H}_1\;:\;P=P_1\;.$$

Les tests portant sur deux valeurs fixées d'un paramètre en sont un cas particulier. Considérons par exemple la série de 10 données binaires suivante :

$$0\;,\;1\;,\;1\;,\;0\;,\;1\;,\;1\;,\;1\;,\;0\;,\;0\;,\;1\;.$$

Le modèle est un échantillon de taille 10 de la loi de Bernoulli de paramètre $p$, pour lequel nous souhaitons tester :

$${\cal H}_0\;:\;p=0.5$$   contre$$\quad {\cal H}_1\;:\;p=0.8\;.$$

L'idée consiste à comparer les probabilités de l'observation sous chacune des deux hypothèses. Pour la loi de Bernoulli de paramère $p$, la probabilité d'une observation comportant 6 ``1'' et 4 ``0'' est $p^6(1-p)^4$ soit $9.8\,10^{-4}$ pour $p=$0.5 et $4.2\,10^{-4}$ pour $p=$0.8. Les deux sont faibles, mais le rapport est en faveur de ${\cal H}_0$.

Définition 4.3   Soit $P$ une loi de probabilité discrète, et $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon de la loi $P$. On appelle vraisemblance la statistique :

$$L(X_1,\ldots,X_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i)\;.$$

L'interprétation est la suivante. Par définition, les variables aléatoires $X_1,\ldots,X_n$ sont indépendantes et de même loi $P$. Donc la probabilité que l'échantillon théorique $(X_1,\ldots,X_n)$ ait pour réalisation l'échantillon observé $(x_1,\ldots,x_n)$ est le produit des probabilités pour que $X_i$ prenne la valeur $x_i$, à savoir :

$$\mathbb{P}[(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)] = L(x_1,\ldots,x_n)\;.$$

Dans le cas d'un modèle continu, la loi $P$ a une densité sur $\mathbb{R}$, et la probabilité pour que l'échantillon prenne une valeur particulière est toujours nulle. Il faut alors remplacer la probabilité $P$ par sa densité dans la définition de la vraisemblance.

Définition 4.4   Soit $P$ une loi de probabilité continue sur $\mathbb{R}$ et $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon de la loi $P$. Notons $f$ la densité de probabilité de la loi $P$. On appelle vraisemblance la statistique :

$$L(X_1,\ldots,X_n) = \prod_{i=1}^n f(X_i)\;.$$

L'interprétation est la suivante. Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif (petit). La probabilité que l'échantillon $(X_1,\ldots,X_n)$ ait une réalisation proche ``à $\varepsilon$ près'' de l'échantillon observé $(x_1,\ldots,x_n)$ peut s'écrire :

$$\begin{array}{ccc} \mathbb{P}\Big[X_1\in [x_1\!-\!\frac{\vare... ...epsilon\\ &=& \varepsilon^n\,L(x_1,\ldots,x_n)\;. \end{array}$$

Définition 4.5   Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon de la loi $P$. On souhaite tester

$${\cal H}_0\;:\;P=P_0$$   contre$$\quad {\cal H}_1\;:\;P=P_1\;.$$

Soit $L_0(X_1,\ldots,X_n)$ la vraisemblance de l'échantillon sous ${\cal H}_0$ et $L_1(X_1,\ldots,X_n)$ sa vraisemblance sous ${\cal H}_1$. Posons :

$$T = \frac{L_1(X_1,\ldots,X_n)}{L_0(X_1,\ldots,X_n)}\;.$$

On appelle test du rapport de vraisemblance de seuil $\alpha$, le test défini par la règle de décision :

   Rejet de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; T > Q_0(1-\alpha)\;,$$

où $Q_0$ est la fonction quantile de $T$ sous l'hypothèse ${\cal H}_0$.

Dans le cas où la loi $P$ est discrète, la loi de la statistique de test $T$ l'est aussi, et la définition de la région de rejet pour une valeur fixée du seuil $\alpha$ pose les problèmes habituels. En pratique, on se contentera de calculer la p-valeur.

Reprenons l'exemple d'un échantillon de la loi de Bernoulli, avec les deux hypothèses :

$${\cal H}_0\;:\;p=p_0$$   contre$$\quad {\cal H}_1\;:\;p=p_1\;,$$

où $p_0<p_1$. La règle de décision est du type :

   Rejet de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; \frac{p_1^{\sum X_i}(1-p_1)^{n-\sum X_i}} {p_0^{\sum X_i}(1-p_0)^{n-\sum X_i}} > l_0\;.$$

Comme souvent, on est amené à transformer la règle de décision par équivalences, pour se ramener à une statistique de test dont on sache calculer la loi.

$$\begin{array}{ccc} \mbox{Rejet de }{\cal H}_0&\Longleftrighta... ...i} >l_1\\ &\Longleftrightarrow& \sum X_i > l_2\;. \end{array}$$

La valeur $l_2$ devra être telle que $\mathbb{P}_{{\cal H}_0}[\sum X_i>l_2] = \alpha$. Or $\sum X_i$ suit la loi binomiale ${\cal B}(n,p_0)$. On retrouve le test unilatéral à droite classique pour la valeur d'une probabilité. Comme application numérique, si $p_0=$0.5 et $p_1=$0.8, $\sum X_i$ prend la valeur 6, la p-valeur est :

$$1-F_{{\cal B}(10,0.5)}(5) = 0.377\;.$$

On ne rejettera donc pas ${\cal H}_0$.

Voici un autre exemple portant sur des lois continues (loi uniforme contre loi beta).

$${\cal H}_0\;:\;P={\cal U}(0,1)$$   contre$$\quad {\cal H}_1\;:\;P={\cal B}(2,1)\;.$$

Les lois ${\cal U}(0,1)$ et ${\cal B}(2,1)$ ont pour densités respectives :

$$f_0(x) =$$   1$$_{[0,1]}(x)$$   et$$\quad f_1(x) = 2x$$1$$_{[0,1]}(x)\;.$$

La règle de décision du test du rapport de vraisemblance sera :

$$\begin{array}{ccc} \mbox{Rejet de }{\cal H}_0&\Longleftrighta... ...eftrightarrow& \sum_{i=1}^n -\log(X_i) < l_3\;.\\ \end{array}$$

Or si $X_i$ suit la loi ${\cal U}(0,1)$ (hypothèse ${\cal H}_0$), alors $-\log(X_i)$ suit la loi exponentielle ${\cal E}(1)$, et comme les $X_i$ sont indépendantes, $\sum -\log(X_i)$ suit la loi gamma ${\cal G}(n,1)$. La règle de décision pour le test de seuil $\alpha$ est donc :

   Rejet de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; \sum_{i=1}^n -\log(X_i) < Q_{{\cal G}(n,1)}(\alpha)\;.$$

L'avantage du test du rapport de vraisemblance (quand on peut le construire explicitement), est qu'il garantit la meilleure puissance possible, d'après le théorème de Neyman-Pearson :

Théorème 4.6   Le test du rapport de vraisemblance de seuil $\alpha$ est plus puissant que tout test de seuil $\alpha'\leq \alpha$, pour les deux hypothèses simples ${\cal H}_0\,:\,P=P_0$ contre ${\cal H}_1\,:\,P=P_1$.

Si $\beta$ désigne le risque de deuxième espèce du test du rapport de vraisemblance, et $\beta'$ celui d'un autre test des mêmes hypothèses, dire que le test du rapport de vraisemblance est plus puissant que l'autre revient à dire que $\beta$ est inférieur à $\beta'$.

Section : Hypothèses alternatives
Précédent : Tests paramétriques
Suivant : Fonction puissance