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Loi d'une variable aléatoire

Une variable aléatoire est un nombre dépendant du résultat d'une expérience aléatoire. L'enjeu est la localisation de ce nombre : déterminer quelles sont ses chances de tomber sur telle ou telle partie de $\mathbb{R}$. Cette localisation conduit à associer à toute variable aléatoire une loi de probabilité sur $\mathbb{R}$.

Définition 3.1   On appelle loi de la variable aléatoire $X$ la loi de probabilité $P_X$ sur $\mathbb{R}$, définie pour tout borélien $A$ de $\mathbb{R}$ par :

$$P_X[A] = P[X\in A]\;.$$

En pratique, on oublie le codage initial en éventualités et la loi $P$ sur $\Omega$, pour ne retenir que la loi $P_X$ sur $\mathbb{R}$. Si on n'observe qu'une seule variable aléatoire $X$, on pourra d'ailleurs considérer que les éventualités sont les valeurs réelles qu'elle peut prendre, et munir cet ensemble de la loi de $X$. Pour des raisons de modélisation autant que de commodité mathématique, on distingue deux types de variables aléatoires. Les variables aléatoires discrètes ne prennent qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs (en général entières). Les variables aléatoires continues peuvent à priori prendre toutes les valeurs dans un intervalle de réels. Cette distinction correspond bien sûr à celle déjà introduite pour les lois de probabilité.

En général, on sera amené à répéter une même expérience pour en faire une nouvelle expérience globale, et donc à observer plusieurs variables aléatoires à l'issue d'une expérience. La notion d'indépendance entre variables aléatoires joue un rôle important dans ce qui suit.

Définition 3.2   Les variables aléatoires $X_1,\ldots,X_n$ sont dites indépendantes si pour tout $n$-uplet $(A_1,\ldots,A_n)$ de boréliens de $\mathbb{R}$, les évènements " $X_1\in A_1$", ...," $X_n \in A_n$" sont indépendants. Une suite $(X_n)$ de variables aléatoires indépendantes est telle que pour tout $n$ les variables aléatoires $(X_1,\dots,X_n)$ sont indépendantes.

L'indépendance est donc une propriété des évènements " $X_i\in A_i$". On en déduit que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors toute fonction de $X$ est indépendante de toute fonction de $Y$.

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