Section : Théorèmes limites
Précédent : Théorèmes limites
Suivant : Théorème central limite

Loi faible des grands nombres

Théorème 4.1   Soit $X$ une variable aléatoire admettant une variance. Soit $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que $X$. Alors :

$$\forall \varepsilon >0\,\, P\left[\,\left\vert\frac{X_1+\cdots +X_n}{n} -\mathbb{E}[X]\right\vert>\varepsilon\,\right] \longrightarrow 0\,\,$$   quand $$n\longrightarrow \infty \;.$$

Démonstration : On a :

$$\mathbb{E}\left[\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\right] =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\mathbb{E}[X_i] =\mathbb{E}[X]\;,$$

et

$$Var\left[\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\right] =\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nVar[X_i] =\frac{1}{n}Var[X] \;.$$

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

$$P\left[\,\left\vert\frac{X_1\dots +X_n}{n}-\mathbb{E}[X]\right\vert>\varepsilon\,\right] \leq \frac{Var[X]}{n\varepsilon^2}\longrightarrow 0\,\,$$   quand $$n\longrightarrow \infty \;.$$

$\square$

L'idée intuitive est que si on mesure une même quantité aléatoire au cours d'une suite d'expériences indépendantes, alors la moyenne arithmétique des valeurs observées va se stabiliser sur l'espérance. Comme cas particulier on retrouve la loi des grands nombres pour la probabilité d'un évènement. Pour une suite d'expériences indépendantes notons $X_i$ l'indicatrice de l'évènement $A$ à la $i$-ème expérience. Les $X_i$ suivent la loi de Bernoulli de paramètre $P[A]$ et $(X_1+\cdots +X_n)/n$ est la fréquence expérimentale de $A$.

L'ordre de grandeur de l'erreur commise en approchant $\mathbb{E}[X]$ par la moyenne $(X_1+\cdots +X_n)/n$ est $1/\sqrt{n}$ : dans la dernière inégalité de la démonstration, prenons $\varepsilon=\displaystyle{\frac{c\sqrt{Var[X]}}{\sqrt{n}}}$. On a :

$$P\left[\,\left\vert\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}-\mathbb{E}[X]\right\vert >\frac{c\sqrt{Var[X]}}{\sqrt{n}}\,\right] <\frac{1}{c^2} \;.$$

Cette estimation d'erreur sera précisée plus loin par la notion d'intervalle de confiance, grâce au théorème central limite.

Section : Théorèmes limites
Précédent : Théorèmes limites
Suivant : Théorème central limite