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Intervalles de confiance.

L'idée de l'estimation par intervalle de confiance est de définir, autour de la moyenne empirique, un intervalle aléatoire (dépendant des $n$ expériences) qui contienne $\mu$ avec une forte probabilité. C'est l'amplitude de cet intervalle qui mesure la précision de l'estimation.

Théorème 4.3   Soit $(X_n), n\in \mathbb{N}^*$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$ finies. Posons :

$$\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad \overline X_n = \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$$   et$$\quad S_n^2 = \frac{X_1^2+\cdots +X_n^2}{n} - \overline X_n^2 \;.$$

Soit $\alpha$ un réel $>0$ (petit). Soit $z_\alpha$ le réel $>0$ tel que :

$$\int_{-z_\alpha}^{+z_\alpha}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx =1-\alpha \;.$$

Posons

$$\begin{array}{cclcccl} T_1& =& \overline X_n- \displaystyle... ...aystyle{\frac{z_\alpha \sqrt{S_n^2} }{\sqrt{n}}}\;. \end{array}$$

Alors  :

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\, P[\,\mu\in[T_1,T_2]\,] \;=\; \lim_{n\rightarrow \infty} P[\,\mu\in[T'_1,T'_2]\,] \;=\; 1-\alpha \, \;.$$

On dit que les intervalles aléatoires $[T_1,T_2]$ et $[T'_1,T'_2]$ sont des intervalles de confiance pour $\mu$, de niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$.

Interprétation La valeur $\mu$ étant inconnue, il n'y a pas de raison a priori pour que l'écart-type $\sigma$ soit connu. S'il est inconnu, on l'estime par l'écart-type empirique $\sqrt{S_n^2}$. C'est la raison pour laquelle nous donnons deux intervalles de confiance. La valeur de $z_\alpha$ est lue dans une table, ou retournée par un module de calcul numérique. Les valeurs les plus courantes sont les suivantes :

$\alpha$	0.01	0.02	0.05
$z_\alpha$	2.5758	2.3263	1.96

Les intervalles $[T_1,T_2]$ et $[T'_1,T'_2]$ sont aléatoires. A l'issue de la série de $n$ expériences, $T_1$ et $T_2$ auront pris des valeurs particulières $t_1$ et $t_2$. L'encadrement $\theta\in [t_1,t_2]$ sera alors vrai ou faux. Pour $\alpha =0.05$, si on répète $100$ fois la série de $n$ expériences pour obtenir $100$ intervalles, on peut s'attendre à ce que cinq d'entre eux ne contiennent pas $\mu$.

Il faut comprendre un intervalle de confiance comme une précision donnée sur la valeur estimée de $\mu$ :

$$\mu =\overline X_n \pm \frac{z_\alpha \sigma }{\sqrt{n}}$$   ou$$\qquad \mu =\overline X_n \pm \frac{z_\alpha \sqrt{S_n^2} }{\sqrt{n}}\;.$$

Estimation d'une probabilité.

Supposons que la quantité à estimer soit la probabilité $p$ d'un évènement. On réalise une suite d'expériences indépendantes, en notant à chaque fois si l'évènement est réalisé (1) ou non (0). La variable aléatoire correspondant à la $n$-ième expérience est notée $X_n$. Les $X_n$ suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p\,$.

$$P[X_n=0]=1\!-\!p\;,\quad P[X_n=1]=p \;.$$

$$\mu =\mathbb{E}[X_n]=p$$   et$$\qquad \sigma^2 =Var[X_n]=p(1\!-\!p)\;.$$

La somme $X_1+\cdots +X_n$ (nombre de réalisations de l'évènement sur $n$ expériences) suit la loi binomiale ${\cal B}(n,p)$. La moyenne empirique $\overline X_n$ de l'échantillon est ici la fréquence expérimentale de l'évènement. La variance empirique $S_n^2$ est égale à $\overline X_n(1-\overline X_n)$. Il est à remarquer ici que la variance et la variance empirique sont majorées par $1/4$.

Reprenons l'expérience de l'aiguille de Buffon, consistant à lancer au hasard une aiguille sur un parquet. Si la largeur des lames est égale à la longueur de l'aiguille, nous avons vu que la probabilité (théorique) pour que l'aiguille tombe à cheval sur 2 lames de parquet est $2/\pi$. Supposons que l'on répète $n$ fois l'expérience, physique ou par simulation. A l'issue des $n$ répétitions, on obtient une valeur de la fréquence expérimentale $\overline X_n$ et donc un intervalle de confiance $[T_1,T_2]$. L'intervalle $[2/T_2,2/T_1]$ est aussi un intervalle de confiance pour la valeur $\pi$. Voici par exemple des résultats obtenus sur $n=10^6$ expériences.

$$\overline X_n=0.636438\;,\; \frac{2}{\overline X_n}=3.14249\;.$$

Pour $1-\alpha=0.99$ ( $z_\alpha=2.5758$) et $1-\alpha=0.95$ ( $z_\alpha=1.96$), les intervalles de confiance pour la probabilité sont respectivement :

$$[0.6352\,;\,0.6377]\;$$ et $$\;[0.6355\,;\,0.6374]\;.$$

Ils correspondent aux encadrements suivants pour la valeur de $\pi$ :

$$[3.1364\,;\, 3.1486]\;$$ et $$\;[3.1378\,;\, 3.14715]\;.$$

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