En regardant 100 jeux consécutifs d’une roulette de casino, un joueur observe que dans la série des résultats, il y a 6 fois consécutivement la même couleur.
Une suite de résultats consécutifs aussi longue est-elle exceptionnelle ?
La locution " aussi longue " dans cette
question mérite réflexion ; mais si on pense que 6 coups consécutifs
égaux, cela fait beaucoup, on penserait a fortiori que 7 coups consécutifs
égaux, ou plus, c'est beaucoup ; aussi on ne se
focalise pas sur 6, mais sur le fait d'observer au moins 6 coups
consécutifs égaux.
Pour donner des éléments de
réponse à cette question, considérons la situation suivante :
On effectue r tirages à la roulette, on note N pour noir et R pour rouge (le zéro n'est pas pris en compte).
Pour compter le nombre maximum m de coups consécutifs égaux, on fabrique
un compteur : à partir d'une liste a1,.., ar de lettre R
ou N, on construit une liste b1,.., br par l'algorithme
suivant :
Entrer : r ;
(a1,.., ar)
b1 =1
Pour i=2 à r :
Si ai=ai-1 alors bi=bi-1+1
Sinon bi=1
Résultat : m=max (b1,.., br).
Par exemple :
R | R | R | N | R | N | N | R | N | R | R | N | N | R | N |
1 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 |
Une expérience consiste à effectuer une série de n tirages
à la roulette et à lui associer le nombre maximum de coups consécutifs
égaux, noté m (a priori, m est un entier entre 1 et r).
n
simulations
pour r=10
m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
n=10 | 0 | 5 | 1 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
n=100 | 0 | 11 | 37 | 20 | 21 | 9 | 2 | 0 | 0 | 0 |
n=1000 | 1 | 160 | 350 | 253 | 126 | 68 | 31 | 6 | 2 | 3 |
n=1000 | 1 | 186 | 347 | 258 | 121 | 54 | 24 | 7 | 1 | 1 |
n=1000 | 5 | 147 | 344 | 273 | 133 | 62 | 25 | 5 | 4 | 2 |
n=1000 | 4 | 163 | 357 | 239 | 141 | 62 | 23 | 7 | 3 | 1 |
m |
£ 4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
³ 14 |
max |
n=1000 |
23 |
150 |
306 |
220 |
137 |
77 |
40 |
32 |
10 |
3 |
2 |
17 |
n=1000 |
21 |
164 |
240 |
255 |
146 |
85 |
47 |
26 |
9 |
6 |
1 |
15 |
La question posée au début de ce texte concerne
l'événement {m³
6}. Or sur les 2000 expériences, environ 82% réalisent cet
événement ; il semble difficile de dire qu'un événement
qui se produit dans 82% des cas sur 2000 expériences est exceptionnel !
La
fréquence
observée est bien sûr soumise à
la fluctuation d'échantillonnage ; le calcul des probabilités permet de
montrer que pour n expériences, lorsque n augmente, la
fréquence
observée se rapproche d'un nombre p»
0,80.