Une série à la roulette


C. Robert

En regardant 100 jeux consécutifs d’une roulette de casino, un joueur observe que dans la série des résultats, il y a 6 fois consécutivement la même couleur.

Une suite de résultats consécutifs aussi longue est-elle exceptionnelle ?

La locution " aussi longue " dans cette question mérite réflexion ; mais si on pense que 6 coups consécutifs égaux, cela fait beaucoup, on penserait a fortiori que 7 coups consécutifs égaux, ou plus, c'est beaucoup ; aussi on ne se focalise pas sur 6, mais sur le fait d'observer au moins 6 coups consécutifs égaux.

Pour donner des éléments de réponse à cette question, considérons la situation suivante :

On effectue r tirages à la roulette, on note N pour noir et R pour rouge (le zéro n'est pas pris en compte).

Pour compter le nombre maximum m de coups consécutifs égaux, on fabrique un compteur : à partir d'une liste a1,.., ar de lettre R ou N, on construit une liste b1,.., br par l'algorithme suivant :

Entrer : r ; (a1,.., ar)

b1 =1

Pour i=2 à r :

Si ai=ai-1 alors bi=bi-1+1

Sinon bi=1

Résultat : m=max (b1,.., br).

Par exemple :

R R R N R N N R N R R N N R N
1 2 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1


Une expérience consiste à effectuer une série de n tirages à la roulette et à lui associer le nombre maximum de coups consécutifs égaux, noté m (a priori, m est un entier entre 1 et r).    

n simulations pour r=10
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=10 0 5 1 4 0 0 0 0 0 0
n=100 0 11 37 20 21 9 2 0 0 0
n=1000 1 160 350 253 126 68 31 6 2 3
n=1000 1 186 347 258 121 54 24 7 1 1
n=1000 5 147 344 273 133 62 25 5 4 2
n=1000 4 163 357 239 141 62 23 7 3 1

n simulations pour r=100

m

£ 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

³ 14

max

n=1000

23

150

306

220

137

77

40

32

10

3

2

17

n=1000

21

164

240

255

146

85

47

26

9

6

1

15

La question posée au début de ce texte concerne l'événement {m³ 6}. Or sur les 2000 expériences, environ 82% réalisent cet événement ; il semble difficile de dire qu'un événement qui se produit dans 82% des cas sur 2000 expériences est exceptionnel ! La fréquence observée est bien sûr soumise à la fluctuation d'échantillonnage ; le calcul des probabilités permet de montrer que pour n expériences, lorsque n augmente, la fréquence observée se rapproche d'un nombre p» 0,80.