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Variance

Définition 3.13   On appelle variance de $X$, et on note $Var[X]$, l'espérance de la variable aléatoire $(X-\mathbb{E} [X])^2$, si elle existe.

On démontre que l'existence de la variance entraîne celle de l'espérance. Par contre une variable aléatoire $X$ peut très bien avoir une espérance mais pas de variance. C'est le cas par exemple si $X$ a pour densité :

$$f_X(x) =\frac{2}{x^3}$$1$$_{[1,+\infty[}(x) \;.$$

Le calcul des variances est souvent simplifié par le résultat suivant.

Proposition 3.14   La variance de $X$ existe si et seulement si $\mathbb{E}[X^2]$ existe et on a :

$$Var[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2\;.$$

Démonstration : Pour passer de la définition à la formule ci-dessus, il suffit de développer le carré et d'utiliser la linéarité de l'intégrale.

$$Var[X] = \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]$$

$$= \mathbb{E}[X^2-2X\mathbb{E}[X]+(\mathbb{E}[X])^2]$$

$$= \mathbb{E}[X^2]-2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X]+(\mathbb{E}[X])^2$$

$$= \mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2\;.$$

$\square$

La variance mesure de combien les valeurs prises par $X$ s'écartent de la valeur moyenne $\mathbb{E}[X]$. Elle n'est pas homogène : si $X$ est une longueur exprimée en mètres, $Var[X]$ est en mètres-carrés. On corrige ceci en introduisant l'écart-type qui est la racine carrée de la variance. Les propriétés principales de la variance sont les suivantes.

Proposition 3.15  

$\bullet$

Pour tout $a\in \mathbb{R}$ : $Var[aX]=a^2\,Var[X]$.

$\bullet$

Pour tout $b\in \mathbb{R}$ : $Var[X+b]=Var[X]$.

$\bullet$

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors :

$$Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y] \;.$$

Démonstration : Les deux premières propriétés sont des conséquences directes de la définition. Pour la troisième, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $(X\!-\!\mathbb{E}[X])$ et $(Y\!-\!\mathbb{E}[Y])$ le sont aussi. On a donc :

$$\mathbb{E}[(X+Y-\mathbb{E}[X+Y])^2] = \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X]+Y-\mathbb{E}[Y])^2]$$

$$= Var[X]+Var[Y]+2\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])]$$

$$= Var[X]+Var[Y]+2\mathbb{E}[X-\mathbb{E}[X]\,]\,\mathbb{E}[Y-\mathbb{E}[Y]\,]$$

$$= Var[X]+Var[Y]\;.$$

$\square$

L'inégalité de Bienaymé-Tchebichev ci-dessous traduit l'idée intuitive que les valeurs prises par $X$ s'écartent d'autant moins de $\mathbb{E}[X]$ que $Var[X]$ est plus faible. Le cas extrême est celui d'une variable aléatoire de variance nulle, qui ne peut prendre qu'une seule valeur.

Théorème 3.16   Soit $X$ une variable aléatoire admettant une variance. Alors, pour tout $\varepsilon >0$ :

$$P[\,\vert X-\mathbb{E}[X]\vert>\varepsilon\,] \leq \frac{Var[X]}{\varepsilon^2} \;.$$

Démonstration : Nous démontrons ce résultat pour les variables continues, le raisonnement pour les variables discrètes est analogue. Posons $\mathbb{E} [X]=m$ . On a :

$$\begin{array}{l} Var[X]= \displaystyle\int_{\mathbb{R}}(x-m)... ... \varepsilon^2P[\,\vert X-m\vert>\varepsilon\,] \;. \end{array}$$

$\square$

Le tableau ci-dessous donne les variances des lois usuelles, discrètes et continues.

Loi	Variance
Uniforme ${\cal U}(\{1,\ldots,n\})$	$\frac{n^2-1}{12}$
Bernoulli ${\cal B}(1,p)$	$p(1-p)$
Binomiale ${\cal B}(n,p)$	$np(1-p)$
Géométrique ${\cal G}(p)$	$\frac{1-p}{p^2}$
Poisson ${\cal P}(\lambda)$	$\lambda$
Hypergéométrique ${\cal HG}(N,m,n)$	$\frac{N-n}{N-1}n \frac{m}{N}\left(1-\frac{m}{N}\right)$
Binomiale négative ${\cal BN}(n,p)$	$n\frac{1-p}{p^2}$
Uniforme ${\cal U}(a,b)$	$\frac{(a-b)^2}{12}$
Exponentielle ${\cal E}(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda^2}$
Normale ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$	$\sigma^2$
Weibull ${\cal W}(a,\lambda)$	$\lambda^{-\frac{2}{a}}(\Gamma(\frac{2}{a}+1)- (\Gamma(\frac{1}{a}+1))^2)$
Gamma ${\cal G}(a,\lambda)$	$\frac{a}{\lambda^2}$
Chi-deux ${\cal X}^2(n)$	$2n$
Béta ${\cal B}(a,b)$	$\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$
Log-normale ${\cal LN}(\mu,\sigma^2)$	$e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$
Student ${\cal T}(n)$	$\frac{n}{n-2}$ si $n>2$
Fisher ${\cal F}(n,m)$	$\frac{2m^2}{n}\frac{n+m-2}{(m-2)^2(m-4)}$ si $m>4$

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