Evènements

Convenons d'appeler expérience aléatoire une expérience dont on ne peut ou ne veut pas prévoir complètement le résultat. Autrement dit une expérience qui pourra donner des résultats différents si elle est répétée (apparemment dans les mêmes conditions). L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire est en général codé de manière à n'en retenir que certains aspects. Jouer à pile ou face consiste lors du lancer d'une pièce, à ne s'intéresser qu'à la face sur laquelle elle tombe en oubliant le nombre de rotations en l'air, le point de chute... On note $\Omega$ l'ensemble de toutes les valeurs possibles que peut prendre ce codage. Les éléments de $\Omega$ sont les éventualités. Voici quelques exemples.

Expérience	$\Omega$
Lancer d'une pièce	{Pile, Face}
Observer le spin d'une particule	{+1, -1}
Relever l'état d'une case mémoire	{0, 1}
Interroger un électeur avant un référendum	{Oui, Non}
Lancer un dé	{1,2,...,6}
Jouer à la roulette	{0,1, ..., 36}
Compter les clients d'une file d'attente	$\mathbb{N}$
Observer une durée de fonctionnement	$\mathbb{R}^+$
Appeler la fonction `Random`	[0,1]

Le codage en éventualités relève d'un choix de modélisation qui comporte un certain arbitraire. Si on joue à "pair ou impair" à la roulette, $\Omega =$ {0,Pair, Impair} conviendra tout autant que $\Omega =$ {0,1,...,36}. Le nombre de clients dans une file d'attente à un instant donné ne peut pas être supérieur à la population de la terre. Aucune durée de fonctionnement sans panne n'a jamais dépassé quelques siècles. Plus généralement, toute grandeur observée peut être codée par les valeurs d'un ensemble fini (les nombres représentables en machine), compte tenu de sa précision et de son étendue. Ici comme dans les autres domaines des mathématiques appliquées, l'infini ou le continu ne sont que des approximations destinées à simplifier le traitement mathématique. L'expérience aléatoire de référence pour nous est l'appel de la fonction Random, ou générateur pseudo-aléatoire, qui "retourne un réel au hasard dans l'intervalle [0,1]".

Nous verrons plus loin que les appels de Random n'ont rien d'imprévisible, pas plus que ceux des fonctions Sinus ou Exponentielle. Qu'il s'agisse des appels de Random ou de toute autre expérience, parler d'expérience aléatoire, c'est choisir de ne s'intéresser qu'aux résultats possibles, et oublier en fait les conditions de l'expérience. Si on maîtrise parfaitement la vitesse initiale de la pièce, la résistance de l'air et la hauteur par rapport au sol, alors le problème de savoir sur quelle face elle va tomber devient un problème de mécanique, que l'on peut résoudre au moins en théorie. Qu'il existe ou non des expériences dont le résultat soit parfaitement imprévisible est un problème de physique quantique ou de philosophie (Dieu joue-t-il aux dés ?), mais pas de probabilités. Le hasard au sens du probabiliste n'est qu'un expédient, un choix de modélisation qui consiste à recouvrir d'un voile pudique la complexité des phénomènes que l'on ne maîtrise pas, pour n'en retenir que certains aspects observables.

Un évènement est un fait dépendant du résultat d'une expérience aléatoire (ou plutôt de son codage en éventualités) dont on pourra dire à l'issue de l'expérience s'il est réalisé ou non. On peut donc l'assimiler à l'ensemble d'éventualités pour lesquelles il est réalisé, qui est un sous-ensemble de $\Omega$ .

Evènement	$A\subset \Omega$
Le résultat du dé est pair	$\{2,4,6\}$
La durée est inférieure à 100 heures
$\sin($ `Random`	$[0,\displaystyle{\frac{\pi}{6}}[$

Pour le codage {Pile,Face}, "la pièce tombe sur la tranche" n'est pas un évènement, pas plus que "la personne interrogée n'a pas compris la question" pour un codage {Oui, Non} des réponses.

Toutes les combinaisons logiques d'évènements sont encore des évènements. Si

est un évènement, son contraire, noté $\overline{A}$ en est un aussi. Si

sont des évènements, "

", noté $A\cap B$ , ainsi que "

", noté $A\cup B$ , sont aussi des évènements.