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Tests de Wilcoxon et Mann-Whitney

Reprenons encore le problème de tester l'effet d'un traitement sur un caractère donné (le taux de cholestérol par exemple). Un groupe témoin sans traitement correspond à un premier échantillon $(X_1,\ldots,X_{n_x})$ de la loi $P_x$. Sur un deuxième groupe, avec traitement, les valeurs mesurées sont celles de l'échantillon $(Y_1,\ldots,Y_{n_y})$ de la loi $P_y$. Les deux lois $P_x$ et $P_y$ sont inconnues. Si le traitement n'a aucun effet (hypothèse nulle), les deux lois sont identiques.

$${\cal H}_0\;:\; P_x=P_y\;.$$

L'idée du test de Wilcoxon est la suivante : si on rassemble les deux échantillons, et que l'on range les valeurs dans l'ordre, l'alternance des $X_i$ et des $Y_j$ devrait être assez régulière. On aura des doutes sur ${\cal H}_0$ si les $Y_j$ sont plutôt plus grands que les $X_i$, ou plus petits, ou plus fréquents dans une certaine plage de valeurs. On commence donc par écrire les statistiques d'ordre de l'échantillon global (s'il y a des ex-æquo, on tire au hasard une permutation). On obtient ainsi une suite mélangée des $X_i$ et des $Y_j$. On calcule ensuite la somme des rangs des $X_i$, notée $W_x$ (c'est la statistique de Wilcoxon ). Sous l'hypothèse ${\cal H}_0$, la loi de $W_x$ se calcule facilement : sur un échantillon de taille $n_x+n_y$, il y a $(n_x+n_y)!$ ordres possibles. Le nombre de rangements possibles des $X_i$ est $\binom{n_x+n_y}{n_x}$, et ils sont équiprobables. On a donc pour tout $m$ entier allant de $\binom{n_x}{2}$ à $\binom{n_x+n_y}{2}-\binom{n_y}{2}$ :

$$\mathbb{P}_{{\cal H}_0}[\,W_x = m\,] = \frac{k_m}{\binom{n_x+n_y}{n_x}}\;,$$

où $k_m$ désigne le nombre de $n_x$-uplets d'entiers $r_1,\ldots,r_{n_x}$ dont la somme vaut $m$ et qui sont tels que :

$$1\leq r_1<r_2<\cdots<r_{n_x}\leq n_x+n_y\;.$$

Il est facile de tabuler numériquement la loi de $W_x$, pour des valeurs raisonnables de $n_x$ et $n_y$. Pour les grandes valeurs, on dispose du résultat d'approximation normale suivant :

Théorème 2.8   Sous l'hypothèse ${\cal H}_0$, la loi de

$$\frac{W_x - n_x(n_x+n_y+1)/2}{\sqrt{n_xn_y(n_x+n_y+1)/12}}\;,$$

converge vers la loi normale ${\cal N}(0,1)$.

Voici par exemple deux échantillons de taille 10.

$$\begin{array}{c} 5.7\,,\;3.2\,,\;8.4\,,\;4.1\,,\;6.9\,,\; 5.... ...,,\;4.6\,,\; 1.6\,,\;8.5\,,\;7.1\,,\;8.7\,,\;5.7\,. \end{array}$$

Voici les statistiques d'ordre de l'échantillon de taille 20 regroupé (les valeurs $X_i$ du premier échantillon sont soulignées).

$$\begin{array}{c} 1.6\,,\;\underline{1.7}\,,\;\underline{2.5}... ...7.9\,,\;8.1\,,\; \underline{8.4}\,,\;8.5\,,\;8.7\,. \end{array}$$

La statistique $W_x$ prend la valeur :

$$2+3+4+5+7+9+12+13+15+18 = 88\;.$$

Les valeurs du premier échantillon ont tendance à être plus petites que celles du second. On cherche à savoir si cette tendance est significative, on réalisera donc un test unilatéral à gauche (rejet d'une valeur trop petite de $W_x$). La p-valeur correspondante est :

$$p(88) = 0.1088\;.$$

Le test de Mann-Whitney provient d'une autre approche mais il est équivalent au précédent. Dans l'exemple ci-dessus, nous voulions vérifier que les valeurs du premier échantillon étaient plus souvent plus petites que celles du second. On aurait pu pour cela compter le nombre de couples $(X_i,Y_j)$ pour lesquels $X_i>Y_j$ (avec choix aléatoire en cas d'ex-æquo).

$$U = \sum_{i=1}^{n_x}\sum_{j=1}^{n_y}$$   1$$_{X_i>Y_j}\;.$$

On vérifie aisément que les deux statistiques $U$ et $W_x$ sont liées par la relation suivante :

$$U = W_x - n_x(n_x+1)/2\;.$$

Les deux tests sont donc strictement équivalents. Pour notre exemple, la statistique $U$ prend la valeur :

$$1+1+1+1+2+3+5+5+6+8 = 33 = 88-45\;.$$

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