Nous reprenons le problème de tester deux
hypothèses
simples, quand le
modèle
est celui d'un
échantillon
d'une
loi de probabilité
inconnue
:
Les tests portant sur deux valeurs fixées d'un paramètre en sont un cas particulier. Considérons par exemple la série de 10 données binaires suivante :
Le
modèle
est un
échantillon
de taille 10 de la loi de Bernoulli
de paramètre , pour lequel nous souhaitons tester :
L'idée consiste à comparer les
probabilités
de
l'observation sous chacune des deux
hypothèses.
Pour la loi de Bernoulli
de paramère , la
probabilité
d'une observation comportant
6 ``1'' et 4 ``0'' est
soit
pour
0.5 et
pour
0.8. Les deux sont faibles, mais le rapport
est en faveur de
.
L'interprétation est la suivante.
Par définition, les
variables aléatoires
sont
indépendantes
et de même loi
. Donc la probabilité
que
l'échantillon
théorique
ait pour réalisation
l'échantillon
observé
est le produit des probabilités
pour que
prenne la valeur
, à savoir :
Dans le cas d'un
modèle
continu, la loi a une
densité
sur
, et la
probabilité
pour que
l'échantillon
prenne une
valeur particulière est toujours nulle. Il faut alors remplacer la
probabilité
par sa
densité
dans la définition de
la
vraisemblance.
L'interprétation est la suivante.
Soit
un réel
strictement positif (petit). La
probabilité
que
l'échantillon
ait une réalisation proche ``à
près''
de
l'échantillon
observé
peut s'écrire :
On appelle
test du rapport de vraisemblance
de
seuil
, le test
défini par la
règle de décision
:
où est la
fonction quantile
de
sous
l'hypothèse
.
Reprenons l'exemple d'un échantillon de la loi de Bernoulli, avec les deux hypothèses :
où . La
règle de décision
est du type :
Comme souvent, on est amené à transformer la règle de décision par équivalences, pour se ramener à une statistique de test dont on sache calculer la loi.
La valeur devra être telle que
. Or
suit la
loi binomiale
. On retrouve
le
test unilatéral
à droite classique pour la valeur d'une
probabilité.
Comme application numérique, si
0.5 et
0.8,
prend la valeur 6, la
p-valeur
est :
Voici un autre exemple portant sur des lois continues (loi uniforme contre loi beta).
Les lois
et
ont pour
densités
respectives :
La règle de décision du test du rapport de vraisemblance sera :
Or si suit la loi
(hypothèse
),
alors
suit la
loi exponentielle
, et comme les
sont
indépendantes,
suit la
loi gamma
. La
règle de décision
pour le
test
de
seuil
est donc :
Si désigne le risque de deuxième espèce du
test du rapport de vraisemblance,
et
celui d'un autre
test
des mêmes
hypothèses,
dire que le
test du rapport de vraisemblance
est plus puissant que l'autre
revient à dire que
est inférieur à
.