La notion de
puissance
a été définie jusqu'ici pour une
alternative simple. Dans le cadre paramétrique, si
l'hypothèse
est composée, on utilisera plutôt la
fonction puissance.
On dispose d'un
échantillon
de
la loi
dépendant du paramètre
. On suppose que pour
une certaine
hypothèse
, une
règle de rejet
a été
définie.
où
désigne la loi de
l'échantillon,
quand la
valeur du paramètre est
.
Si
l'hypothèse
est simple, du type
, alors
la valeur de la
fonction puissance
pour
est le
seuil
du
test
:
.
Considérons par exemple un
échantillon
de la
loi exponentielle
de paramètre . La
moyenne empirique
suit la
loi gamma
. Considérons
l'hypothèse
simple
, et les trois tests
(bilatéral,
unilatéral
à droite et à gauche) définis par les règles
de décision :
Si la valeur du paramètre est , on calcule les probabilités
de rejet de
, à l'aide de la
fonction de répartition
de la
loi gamma
. Comme exemple numérique,
nous fixons
10 et
0.05. Voici quelques valeurs
particulières pour les 3
fonctions puissance
,
et
.
Pour le
test bilatéral,
la
fonction puissance
admet un minimum
au point . Pour les
tests unilatéraux,
la
puissance
est
monotone, et elle est inférieure au seuil du
test
pour certaines valeurs
de
.
Pour les tests où l'alternative est simple, le théorème de Neyman-Pearson affirme que le test du rapport de vraisemblance est le plus puissant pour un seuil donné. Un tel test est dit uniformément le plus puissant (UPP, ou UMP en anglais). Pour des hypothèses composées, il n'existe pas en général de test UPP. Sous des hypothèses raisonnables, on démontre qu'il existe toujours un test qui soit UPP parmi les tests non biaisés.