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Test sur la valeur d'un quantile

Ici, comme dans tout le chapitre, le modèle de base est celui d'un échantillon d'une loi inconnue $P$. Les $n$ données sont donc supposées être des réalisations de variables aléatoires indépendantes, de même loi $P$. Cette loi n'est pas supposée appartenir à une famille paramétrique particulière (d'où le nom de test non paramétrique). Dans un premier temps, l'hypothèse ${\cal H}_0$ portera sur la valeur d'un quantile de $P$.

Prenons le cas d'un traitement censé faire baisser le taux de cholestérol. Pour chaque individu $i$ d'un groupe de patients, la différence $X_i$ entre le taux après et avant traitement est mesurée. Certaines de ces différences sont négatives (diminutions), d'autres positives (augmentations). L'hypothèse ${\cal H}_0$ est que le traitement n'a pas d'effet significatif. On rejettera ${\cal H}_0$ (on décidera que le traitement est efficace) si suffisamment de baisses ont été observées. La statistique de test est le nombre de baisses :

$$T= \sum_{i=1}^n$$   1$$_{(-\infty,0]}(X_i)\;.$$

(La notation 1$_A(x)$ désigne la fonction indicatrice de l'ensemble $A$, qui vaut 1 si $x\in A$ et 0 sinon.) Si ${\cal H}_0$ est vraie, la médiane de la loi $P$ des $X_i$ est nulle et $T$ suit la loi binomiale ${\cal B}(n,0.5)$.

Nous généralisons la situation à la valeur d'un quantile quelconque.

Proposition 2.1   Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon de la loi $P$, de fonction quantile $Q$. Soit $u\in ]0,1[$ un réel fixé. Considérons l'hypothèse nulle :

$${\cal H}_0\;:\; Q(u)=q_0\;,$$

où $q_0$ est un réel fixé. Soit $T$ le nombre d'éléments de l'échantillon inférieurs à $q_0$ :

$$T= \sum_{i=1}^n$$   1$$_{(-\infty,q_0]}(X_i)\;.$$

Sous l'hypothèse ${\cal H}_0$, $T$ suit la loi binomiale ${\cal B}(n,u)$.

Le cas particulier où $u=$0.5 et $q_0=$0, présenté en exemple ci-dessus, porte le nom de test des signes . Supposons que sur 46 individus on ait observé 29 baisses du taux de cholestérol. La p-valeur correspondante est :

$$p(29) = 1-F_{{\cal B}(46,0.5)}(28) = 0.0519\;.$$

Pour un échantillon de grande taille, on peut remplacer la loi binomiale par son approximation normale. Sous ${\cal H}_0$, la statistique centrée réduite :

$$T' = \frac{T-nu}{\sqrt{nu(1\!-\!u)}}\;,$$

suit approximativement la loi normale ${\cal N}(0,1)$. Dans l'exemple ci-dessus, $T'$ prend la valeur 1.7693. La p-valeur correspondante est :

$$1-F_{{\cal N}(0,1)}(1.7693) = 0.0384\;.$$

Il est conseillé de limiter l'usage des approximations normales aux seuls cas où la loi exacte n'est pas calculable.

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