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Echantillons gaussiens

Ce paragraphe est consacré à la construction d'intervalles de confiance de la moyenne et la variance, pour les échantillons gaussiens, autrement dit les échantillons de la loi normale ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$. L'avantage de cette situation est que les estimateurs naturels de l'espérance et de la variance ont des lois explicitement calculables. Nous notons $(X_1,\ldots,X_n)$ un échantillon de la loi ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$, $\overline{X}$ sa moyenne empirique et $S^2$ sa variance empirique .

$$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$$   et$$\quad S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 -\overline{X}^2\;.$$

Nous rassemblons ci-dessous, et nous admettrons, les trois résultats permettant de calculer les intervalles de confiance de $\mu$ et $\sigma^2$.

Théorème 3.3   Si $(X_1,\ldots,X_n)$ est un échantillon de la loi ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$, alors :

1. $${\sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\Big(\overline{X}-\mu\Big)}$$ suit la loi normale ${\cal N}(0,1)$.
2. $${\sqrt{\frac{n\!-\!1}{S^2}}\Big(\overline{X}-\mu\Big)}$$ suit la loi de Student ${\cal T}(n\!-\!1)$.
3. $${\frac{nS^2}{\sigma^2}}$$ suit la loi du chi-deux ${\cal X}^2(n\!-\!1)$.

Les deux premières affirmations servent à estimer l'espérance $\mu$, respectivement dans le cas où la variance $\sigma^2$ est connue et dans le cas où elle est inconnue. Commençons par supposer que $\sigma^2$ est connue. Posons $z_\alpha = Q_{{\cal N}(0,1)}(1-\alpha/2)$. L'intervalle de dispersion optimal de niveau $1\!-\!\alpha$ pour la loi ${\cal N}(0,1)$ est $[-z_\alpha , z_\alpha]$. Deux valeurs de $z_\alpha$ sont très souvent utilisées : pour $1\!-\!\alpha=$0.95 et 0.99, $z_\alpha$ vaut respectivement 1.96 et 2.5758. D'après le point 1 du théorème 3.3, on a :

$$\mathbb{P}\left[\,\sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\Big(\overline{X}-\mu\Big) \in[-z_\alpha,z_\alpha]\,\right] =1-\alpha\;.$$

Or :

$$\begin{array}{ccc} \sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\Big(\overline{X}... ...e{X}+z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,\right]\;. \end{array}$$

L'intervalle :

$$\left[\,\overline{X}-z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,,\, \overline{X}+z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,\right]\;,$$

est donc un intervalle de confiance de niveau $1\!-\!\alpha$ pour $\mu$.

Le cas où $\sigma^2$ est inconnu se traite de la même façon, en remplaçant la loi ${\cal N}(0,1)$ par la loi ${\cal T}(n-1)$. C'est encore une loi symétrique, pour laquelle l'intervalle de dispersion optimal de niveau $1\!-\!\alpha$ est de la forme $[-t_\alpha,t_\alpha]$, où :

$$t_\alpha = Q_{{\cal T}(n-1)}(1-\alpha/2)\;.$$

Le même raisonnement conduit à l' intervalle de confiance suivant pour $\mu$ :

$$\left[\,\overline{X}-t_\alpha\sqrt{\frac{S^2}{n-1}}\,,\, \overline{X}+t_\alpha\sqrt{\frac{S^2}{n-1}}\,\right]\;.$$

Passons maintenant à l'estimation de $\sigma^2$ à partir de $S^2$. La loi du chi-deux ${\cal X}^2(n\!-\!1)$ n'est pas symétrique, et l'intervalle de dispersion symétrique n'est pas optimal. Nous noterons $u_\alpha$ et $v_\alpha$ deux réels positifs tels que $[u_\alpha,v_\alpha]$ soit un intervalle de dispersion de niveau $1\!-\!\alpha$ pour la loi ${\cal X}^2(n\!-\!1)$. On pourra calculer l'intervalle de dispersion optimal par une procédure d'optimisation numérique, ou bien prendre l'intervalle symétrique :

$$u_\alpha =Q_{{\cal X}^2(n-1)}(\alpha/2)$$   et$$\quad v_\alpha =Q_{{\cal X}^2(n-1)}(1-\alpha/2)\;.$$

D'après le point 3 du théorème 3.3, on a :

$$\mathbb{P}\left[\,\frac{nS^2}{\sigma^2} \in [u_\alpha\,,\,v_\alpha] \,\right] = 1-\alpha\;.$$

Or :

$$\frac{nS^2}{\sigma^2} \in [u_\alpha,v_\alpha]\;\Longleftrightarro... ...sigma^2\in \left[\,\frac{nS^2}{v_\alpha}\,,\,\frac{nS^2}{u_\alpha}\,\right]\;.$$

L'intervalle $\left[\,\frac{nS^2}{v_\alpha}\,,\,\frac{nS^2}{u_\alpha}\,\right]$ est donc un intervalle de confiance de niveau $1\!-\!\alpha$ pour $\sigma^2$.

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