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Tableau de contingence

Le tableau de contingence est un moyen particulier de représenter simultanément deux caractères observés sur une même population, s'ils sont discrets ou bien continus et regroupés en classes. Les deux caractères sont $x$ et $y$, la taille de l'échantillon est $n$. Les modalités ou classes de $x$ seront notées $c_1,\ldots,c_r$, celles de $y$ sont notées $d_1,\ldots,d_s$. On note :

$\bullet$

$n_{hk}$ l'effectif conjoint de $c_h$ et $d_k$ : c'est le nombre d'individus pour lesquels $x$ prend la valeur $c_h$ et $y$ la valeur $d_k$,

$\bullet$

$n_{h\bullet}=\sum_{k=1}^s n_{hk}$ l'effectif marginal de $c_h$ : c'est le nombre d'individus pour lesquels $x$ prend la valeur $c_h$,

$\bullet$

$n_{\bullet k}=\sum_{h=1}^r n_{hk}$ l'effectif marginal de $d_k$ : c'est le nombre d'individus pour lesquels $y$ prend la valeur $d_k$.

On représente ces valeurs dans un tableau à double entrée, dit tableau de contingence.

Chaque ligne et chaque colonne correspond à un sous-échantillon particulier. La ligne d'indice $h$ est la répartition sur $d_1,\ldots,d_s$ des individus pour lesquels le caractère $x$ prend la valeur $c_h$. La colonne d'indice $k$ est la répartition sur $c_1,\ldots,c_r$ des individus pour lesquels le caractère $y$ prend la valeur $d_k$. En divisant les lignes et les colonnes par leurs sommes, on obtient sur chacune des distributions empiriques constituées de fréquences conditionnelles. Pour $h=1,\ldots,r$ et $k=1,\ldots,s$, on les notera :

$$f_{k\vert h} = \frac{n_{hk}}{ n_{h\bullet}}$$   et$$\quad f_{h\vert k} = \frac{n_{hk}}{ n_{\bullet k}}\;.$$

Ces distributions empiriques conditionnelles s'appellent les profils-lignes et profils-colonnes.

L'enjeu principal est d'étudier la dépendance des deux caractères. Deux caractères sont indépendants si la valeur de l'un n'influe pas sur les distributions des valeurs de l'autre. Si c'est le cas, les profils-lignes seront tous peu différents de la distribution empirique de $y$, et les profils-colonnes de celle de $x$ :

$$f_{k\vert h} = \frac{n_{hk}}{n_{h\bullet}}\approx f_{\bullet k} = \frac{n_{\bullet k}}{ n}$$   et$$\quad f_{h\vert k} = \frac{n_{hk}}{n_{\bullet k}}\approx f_{h\bullet} = \frac{n_{h\bullet}}{n}\;.$$

C'est équivalent à dire que les fréquences conjointes doivent être proches des produits de fréquences marginales.

$$f_{hk} = \frac{n_{hk}}{n} \approx f_{h\bullet}\, f_{\bullet k} =\frac{n_{h\bullet}}{n}\,\frac{n_{\bullet k}}{n}\;.$$

Les fréquences conjointes d'une part, et les produits de fréquences marginales d'autre part, constituent deux distributions de probabilité sur l'ensemble produit $\{c_1,\ldots,c_r\}\times\{d_1,\ldots,d_s\}$. Un des moyens de quantifier leur proximité est de calculer la distance du chi-deux de l'une par rapport à l'autre. Dans ce cas particulier, on parle de chi-deux de contingence .

Proposition 3.9   La distance du chi-deux de contingence de la distribution empirique $(f_{hk})$ à la distribution théorique $(f_{h\bullet}f_{\bullet k})$ vaut :

$$\begin{array}{ccc} D_{\chi^2} &=& \sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s \f... ...^s \frac{n_{hk}^2}{n_{h\bullet}\, n_{\bullet k}}\;. \end{array}$$

Démonstration : La première expression est l'application directe de la définition 2.7. Pour passer à la seconde, on développe le carré.

$$\begin{array}{ccc} D_{\chi^2} &=& \sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s \f... ...^s \frac{n_{hk}^2}{n_{h\bullet}\, n_{\bullet k}}\;. \end{array}$$

$\square$

La distance du chi-deux vaut 0 si les deux caractères sont indépendants. Elle est maximale s'il existe une dépendance systématique. Supposons $r=s$ et $y=f(x)$, pour une certaine fonction bijective $f$. Sur chaque ligne et chaque colonne du tableau de contingence, une seule case est non nulle, et la distance du chi-deux vaut $r\!-\!1$.

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